定义:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形,则称这条抛物线为“直角抛物线”.(1)抛物线y=x2-1______直角抛物线(填“是”或“不是”);(2)如图,直角抛物线y=x2+4x+c与x轴交于点A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P.①求c的值;②在x轴上是否存在点Q,使得以A、Q、C为顶点的三角形与△APB相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)观察(1)、(2)中的抛物线解析式,试猜想:在直角抛物线y=ax2+bx+c(a>0)中,b2-4ac是否为定值?若是,请直接写出该定值.(不要求说理)
∴三点构成的三角形三边为:
2 |
2 |
∵(
2 |
2 |
∴此三角形是直角三角形;
故答案为:是;
(2)①如图1,作PD⊥x轴于D.
当y=0时,x2+4x+c=0,
解得:x1=-2+
4?c |
4?c |
∴AB=x1-x2=2
4?c |
∵y=x2+4x+c=(x+2)2+c-4,
∴P(-2,c-4),
∵4-c>0,
∴c<4,
∴PD=4-c.
由抛物线的对称性知,PA=PB.
∵PD⊥AB,
∴DA=DB,
∵∠APB=90°,∴∠APB=90°,
∴AB=2PD,
∴AB2=(2PD)2=4PD2,
∴4(4-c)=4(4-c)2.
∵4-c≠0,
∴4-c=1,
∴c=3.
②由①知,A(-3,0),B(-1,0),C(0,3),
∴OC=OA=3.
解法一:
∵△APB是等腰直角三角形,点Q在x轴上,
(Ⅰ)当∠AQC=90°,且QA=QC时,△AQC∽△APB,
此时点Q与点O重合,
∴Q(0,0).
(Ⅱ)当∠ACQ=90°,且CQ=CA时,
△ACQ∽△APB,
此时点Q与点A关于y轴对称,
∴Q(3,0).
解法二:
∵∠CAO=∠BAP=45°,AP=
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