设A是n*n阶矩阵,α是列向量,且存在正整数k,使得A^(k-1)α≠0,A^k=0,答:α=0 (**)同理, 等式两边左乘A^(k-2), 由A^kα=0得 m1A^(k-1)α = 0 而 A^(k-1)α≠0, 所以 m1=0.代入(**)式得 m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (***)如此类推, 得 m0=m1=...=m(k-1)=0.所以向量组α,Aα,A^2α,...,A^(k-1)α线性无关.
已知A,B,C分别为m×n,n×p,p×s矩阵,R(A)=n,R(C)=p,且ABC=0,证B=0答:AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵 |AB O| |O En| A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有 |AB A| 这一过程的实质是:矩阵左乘以可逆矩阵|E A| |0 En| 矩阵的秩不发生变化|0 E| 右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有 |0 A | |-B En| 所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后...