如图,二次函数的图像经过点A(1,0),B(3,0),C(0,4)三点。（1）求这个二次函数的解析式（2）在这个二次函数图像的对称轴上是否存在点p,使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）点M是这个二次函数图像上从点C到点B一段上的动点（与点B、C不重合），问当点M在什么位置时，△BCM的面积最大？求出此时点M的坐标及△BCM的面积的最大值
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ç±é¢æï¼å¯è®¾ãy=a(x-1)(x-3)ï¼å°C(0,4)ä»£å ¥ï¼å¾a=4/3ï¼æ以ãy=(4/3)x²-(16/3)x+4
对称轴为x=2ï¼è®¾P(2,y)ï¼ååéAP=(1,y)ï¼åéCP=(2,y-4).ç±äºãAPâ¥CPï¼æ以ã2+y(y-4)=0ï¼è§£å¾y=2±â6ï¼å³P(2ï¼2±â6)
æ±åºä¸BCå¹³è¡çæç©çº¿çå线ï¼ååç¹Mä¸BCç»æçâ³BCMçé¢ç§¯æ大ã
BCçæç为-4/3ï¼æ¹ç¨ä¸º4x+3y-12=0
设å线为y=(-4/3)x+bï¼ä»£å ¥y=(4/3)x²-(16/3)x+4ï¼å¾
(-4/3)x+b=(4/3)x²-(16/3)x+4
(4/3)x²-4x+4-b=0
â¿=16-(16/3)(4-b)=0ï¼è§£å¾ãb=1,代åæ¹ç¨ï¼è§£å¾x=3/2ï¼y=-1ãå³M(3/2ï¼-1)
|BC|=5ï¼Må°BCçè·ç¦»ä¸º|6-3-12|/5=9/5
â³BCMçé¢ç§¯æ大å¼ä¸º5Ã(9/5)/2=9/2
æé纳ï¼ï¼ï¼
解a,b,c三个系统就得到函数解析式
(2)对称轴为x=2，设P(2,y)，则向量AP=(1,y)，向量CP=(2,y-4)
由于 AP⊥CP，所以 2+y(y-4)=0，解得y=2±√6，即P(2，2±√6)
(3)求出与BC平行的抛物线的切线，则切点M与BC组成的△BCM的面积最大。
BC的斜率为-4/3，方程为4x+3y-12=0
设切线为y=(-4/3)x+b，代入y=(4/3)x²-(16/3)x+4，得
(-4/3)x+b=(4/3)x²-(16/3)x+4
(4/3)x²-4x+4-b=0
⊿=16-(16/3)(4-b)=0，解得 b=1,代回方程，解得x=3/2，y=-1 即M(3/2，-1)
|BC|=5，M到BC的距离为|6-3-12|/5=9/5
△BCM的面积最大值为5×(9/5)/2=9/2
