已知椭圆M： （a＞b＞0）的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 ．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l：x＝ky＋m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
（Ⅰ） （Ⅱ） 时， 取得最大值为 . |
| (1)由题意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程. （2）以AB为直径的圆过右顶点C，实质是  ,然后用坐标表示出来，再通过直线l的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数，然后利用函数的方法求最值.（Ⅰ）因为椭圆  上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，∴ ， 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ，∴  ， . ………… 3分∴ ，椭圆 的方程为 .……4分（Ⅱ）由直线  的方程 .联立 消去 得 ，………… 5分 设  ， ，则有 ， . ① ……… 6分因为以 为直径的圆过点 ，所以  .由  ，得  .…………… 7分将  代入上式，得  . 将 ① 代入上式，解得  或 （舍）. ……… 8分所以 ,记直线 与 轴交点为 ，则 点坐标为 ，所以   设  ，则 .所以当 时， 取得最大值为 |
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