若A为一个n阶矩阵，且A^2=I，证明秩(A+I)+秩(A-I)=n

∵A^2=I
∴(A+I)(A-I)=0
∴r(A+I)+r(A-I)-n≤r((A+I)(A-I))=r(0)=0 (运用公式r(A)+r(B)-n≤r(AB))
即r(A+I)+r(A-I)≤n
又r(A+I)+r(A-I)=r(A+I)+r(I-A)≥r(A+I+I-A)=r(2I)=n
∴r(A+I)+r(A-I)=n

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