典中典118―――7
在（1＋x）一次方＋（1＋x）二次方＋………＋（1＋x）六次方的展开式中，求解x平方项的系数是多少？
标准答案：35，请写出详尽的步骤才能看懂。
从（1＋x）二次方开始才出现x的平方项，我们从这里开始看；
（1＋x）二次方中x^2的系数为C(2,2)
同理，（1＋x）三次方中x^2的系数为C(3,2)
（1＋x）四次方中x^2的系数为C(4,2)
所以答案就是
C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)+C(6,2)
=C(3,3)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)+C(6,2)
=C(7,3)=35
我的回答中用到了帕斯卡定理
不知道你学没学
就是：
C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
这个定理用公式展开可以证明
不过也可以用实例来理解：
从m个苹果中挑出n个，就是：C(m,n)
现在我们换一种方式，m个苹果中的一个做上标记A，如果挑A苹果，那么从剩下的m-1个苹果中再挑n-1个，就是C(m-1,n-1)
；如果不挑A苹果，那么从剩下的m-1个苹果中再挑n个，就是C(m-1,n)。
因此C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
（1＋x）二次方中x^2的系数为C(2,2)
同理，（1＋x）三次方中x^2的系数为C(3,2)
（1＋x）四次方中x^2的系数为C(4,2)
所以答案就是
C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)+C(6,2)
=C(3,3)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)+C(6,2)
=C(7,3)=35
我的回答中用到了帕斯卡定理
不知道你学没学
就是：
C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
这个定理用公式展开可以证明
不过也可以用实例来理解：
从m个苹果中挑出n个，就是：C(m,n)
现在我们换一种方式，m个苹果中的一个做上标记A，如果挑A苹果，那么从剩下的m-1个苹果中再挑n-1个，就是C(m-1,n-1)
；如果不挑A苹果，那么从剩下的m-1个苹果中再挑n个，就是C(m-1,n)。
因此C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
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第1个回答 2008-02-08
首先可用等比数列求和公式将这个多项式的和进行合并
(1+x)+(1+x)^2+…+(1+x)^6＝[(1+x)-(1+x)^7]/[1-(1+x)]＝(1+x)^7/x－(1+x)/x
由此可见，减号后面的分式不会产生二次项。
减号前的分式，分母是x一次项，故只要在分子(1+x)^7中找到x的三次项就可以了。
由二项式定理，(1+x)^7的展开式中，x^3的系数是C7取3＝35
PS：楼上两位，你们所说的帕斯卡定理有的省市高中就学的。
(1+x)+(1+x)^2+…+(1+x)^6＝[(1+x)-(1+x)^7]/[1-(1+x)]＝(1+x)^7/x－(1+x)/x
由此可见，减号后面的分式不会产生二次项。
减号前的分式，分母是x一次项，故只要在分子(1+x)^7中找到x的三次项就可以了。
由二项式定理，(1+x)^7的展开式中，x^3的系数是C7取3＝35
PS：楼上两位，你们所说的帕斯卡定理有的省市高中就学的。
第2个回答 2008-02-08
(1+x)^2 从中任选2个x相成C（2，2）
(1+x)^3 从中任选2个x相成C（3，2）
(1+x)^4 从中任选2个x相成C（4，2）
(1+x)^5 从中任选2个x相成C（5，2）
(1+x)^6 从中任选2个x相成C（6，2）
(1+x)^7 从中任选2个x相成C（7，2）
最终加起来得35
(1+x)^3 从中任选2个x相成C（3，2）
(1+x)^4 从中任选2个x相成C（4，2）
(1+x)^5 从中任选2个x相成C（5，2）
(1+x)^6 从中任选2个x相成C（6，2）
(1+x)^7 从中任选2个x相成C（7，2）
最终加起来得35
第3个回答 2008-02-08
...公式
Tr+1= r n-r r
C n (x) (1) 看不懂就翻书．．若x项数为平方项 就是N－R＝2从第三项起R分别为1，2，3，4
则系数分别为 1 2 3 4
C3＋C4＋C5＋C6＋1＝35（第二项里还有一个）
Tr+1= r n-r r
C n (x) (1) 看不懂就翻书．．若x项数为平方项 就是N－R＝2从第三项起R分别为1，2，3，4
则系数分别为 1 2 3 4
C3＋C4＋C5＋C6＋1＝35（第二项里还有一个）
第4个回答 2008-02-08
楼上大哥，帕斯卡定理是大一高数上册的内容吧，不过解这道题我也只会这个方法，如果在高中我肯定不会。
