四、建立线性整数规划模型。（30分）
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利110%， 但要求第一年若有投资时投资最低金额为3万元，最高为4万，第二、三、四年不限；项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利120％，但规定最低投资金额为2万元，最高金额为4万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为3万元或为5万元或为6万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额；
设yiA， yiB，是0—1变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、D投资，
否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。
设yiC 是非负整数变量，并规定：第2年投资C项目6万元时，取值为6；
第 2年投资C项目5万元时，取值5；第2年投资C项目3万元时，取值3；
第2年投资C项目2万元时，取值2；第2年不投资C项目时，取值0；
这样我们建立如下的决策变量：
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
A x1A x2A x3A x4A
B x3B
C x2C=10000y2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
2）约束条件：
第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000；
第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；
第三年：年初的资金为 1.10x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D = 1.10x1A+ 1.06x2D；
第四年：年初的资金为 1.10x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.10x2A+ 1.06x3D；
第五年：年初的资金为 1.10x3A+1.06x4D，于是 x5D = 1.10x3A+ 1.06x4D。
关于项目A的投资额规定: x1A ≥ 30000y1A ，x1A ≤ 40000y1A ;y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时， 30000 ≤ x1A ≤40000。 关于项目B的投资额规定: x3B ≥ 20000y3B ，x3B ≤ 40000y3B ；
保证当 y3B = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，40000 ≥ x3B ≥20000 。
关于项目C的投资额规定: x2C = 10000y2C ，y2C = 0，2，3，5,6。
3）目标函数及模型：
Max z = 1.10x4A+ 1.40x2C+ 1.20x3B + 1.06x5D
s.t. x1A+ x1D = 100000；
x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；
x3A+x3B+x3D = 1.10x1A+ 1.06x2D；
x4A+x4D = 1.10x2A+ 1.06x3D；
x5D = 1.10x3A+ 1.06x4D；
x1A ≥ 30000y1A ，
x1A ≤ 400000y1A ，
x3B ≥ 20000y3B ，
x3B ≤ 40000y3B ；
x2C = 10000y2C ，
yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5
y2C = 0，2，3，5,6
xiA ，xiB ，xiC ，xiD ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5）
就是这样的。
设yiA， yiB，是0—1变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、D投资，
否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。
设yiC 是非负整数变量，并规定：第2年投资C项目6万元时，取值为6；
第 2年投资C项目5万元时，取值5；第2年投资C项目3万元时，取值3；
第2年投资C项目2万元时，取值2；第2年不投资C项目时，取值0；
这样我们建立如下的决策变量：
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
A x1A x2A x3A x4A
B x3B
C x2C=10000y2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
2）约束条件：
第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000；
第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；
第三年：年初的资金为 1.10x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D = 1.10x1A+ 1.06x2D；
第四年：年初的资金为 1.10x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.10x2A+ 1.06x3D；
第五年：年初的资金为 1.10x3A+1.06x4D，于是 x5D = 1.10x3A+ 1.06x4D。
关于项目A的投资额规定: x1A ≥ 30000y1A ，x1A ≤ 40000y1A ;y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时， 30000 ≤ x1A ≤40000。 关于项目B的投资额规定: x3B ≥ 20000y3B ，x3B ≤ 40000y3B ；
保证当 y3B = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，40000 ≥ x3B ≥20000 。
关于项目C的投资额规定: x2C = 10000y2C ，y2C = 0，2，3，5,6。
3）目标函数及模型：
Max z = 1.10x4A+ 1.40x2C+ 1.20x3B + 1.06x5D
s.t. x1A+ x1D = 100000；
x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；
x3A+x3B+x3D = 1.10x1A+ 1.06x2D；
x4A+x4D = 1.10x2A+ 1.06x3D；
x5D = 1.10x3A+ 1.06x4D；
x1A ≥ 30000y1A ，
x1A ≤ 400000y1A ，
x3B ≥ 20000y3B ，
x3B ≤ 40000y3B ；
x2C = 10000y2C ，
yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5
y2C = 0，2，3，5,6
xiA ，xiB ，xiC ，xiD ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5）
就是这样的。
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