等腰直角三角形的定义定理性质

概念
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是：

（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

（3）等腰直角三角形三边比例为

。

性质
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。等腰直角三角形三边比例为

。

等腰直角三角形的判定
方法一：

根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。

方法二：

三边比例为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。

方法三：

底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。

证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。

方法四：

有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

证明同方法三。

方法五：

直角边和斜边的比例为

的直角三角形是等腰直角三角形。

证明：根据勾股定理求出另一条直角边也是1，利用方法二判定。或根据反三角函数求出直角边所对角为45°，利用方法四判定。

方法六：

有一个角是45°，并且这个角两边长度比为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：根据馀弦定理可求出第三边长为1，利用方法二判定。

方法七：

有一个角是45°，并且这个角所对的边和它的一条边长度比为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：和方法六不同，如果长度为1的边不是45°角的邻边而是对边，则根据正弦定理求出长度为√2的边所对角为90°，再利用方法四判定。

特殊等腰直角三角形

斜边相等的直角三角形中，以等腰直角三角形的面积和周长最大。

解:首先证明面积最大的是它

将等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径。(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)

由三线合一可知O和F重合，且易证OC>C'F'(根据垂径定理和直径是最长的弦得到)。

而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面积公式

可知等腰Rt△ABC面积最大。

其次解:证明周长最大的还是它

延长BC到E,使CE=CA.延长BC'到D,使C'D=C'A.连接DE,AD,AE.

∵AC'⊥BD,AC⊥BE

∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形

∴∠AEB=∠ADB=45°

∵D,E在线段AB同侧

∴ABED四点共圆

∵AC=BC=CE

∴∠EAB=90°(直角三角形斜边中线定理逆定理)

∴∠EDB=90°

∴BE>BD

又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.

∴AC+CB>AC'+C'B.

∵Rt△ACB周长=AB+(AC+CB).

Rt△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).

∴等腰Rt△ABC周长最大。

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