如题所述
如果Ax=λx，x≠0，那么x称为A关于特征值λ的(右)特征向量；如果y^TA=λy^T，y≠0，那么y称为A关于特征值λ的左特征向量。
显然y是A关于特征值λ的左特征向量<=>y是A^T关于特征值λ的右特征向量，注意这里的特征值是完全相同的。
扩展资料：
把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。
该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
参考资料来源：百度百科--矩阵转置
参考资料来源：百度百科--特征向量
你好！A的转置与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同，如图是推理与反例。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
本回答被提问者采纳A和A^T的特征值相同，但特征向量不一定相同。
这虽然没错，但还有些相关的结论值得注意。
利用Jordan标准型容易验证A和A^T相似，特征值相同是直接推论。
当然这一结论也可以用λI-A与λI-A^T相抵得到。
A和A^T的特征向量并不是没有关系。
为此我们先下一个定义：
如果Ax=λx，x≠0，那么x称为A关于特征值λ的(右)特征向量；
如果y^TA=λy^T, y≠0，那么y称为A关于特征值λ的左特征向量。
显然y是A关于特征值λ的左特征向量<=>y是A^T关于特征值λ的右特征向量，
注意这里的特征值是完全相同的。
进一步，我们假定A可对角化，并且P^{-1}AP=Λ是对角阵，
那么很明显P的列是A的右特征向量系，而从P^TA^TP^{-T}=Λ得到P^{-T}的列是A^T的右特征向量系，也就是A的左特征向量系。
A不可对角化时特征向量会少一些，需要引进循环特征向量才能构成P，结论大体上是一样的。
仅仅说“A和A^T的特征向量不一定相同”大致相当于“P和P^{-T}不是一回事”，这话虽然没错，但漏掉了很多有用的信息。
作为简单的推论，我们可以得到：
(1) 如果λ是A的单特征值，y和x分别是A关于λ的左右特征向量，那么y^Tx≠0；
(2) 如果λ和μ是A的两个不同特征值，x是A关于λ的右特征向量，y是A关于λ的左特征向量，那么y^Tx=0。
