如题所述
如果Ax=λx,x≠0,那么x称为A关于特征值λ的(右)特征向量;如果y^TA=λy^T,y≠0,那么y称为A关于特征值λ的左特征向量。
显然y是A关于特征值λ的左特征向量<=>y是A^T关于特征值λ的右特征向量,注意这里的特征值是完全相同的。
扩展资料:
把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵,三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量,相应的特征值是1,相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。
该特征空间是一个一维空间,因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵,则pA为n次多项式,因而A最多有n个特征值。
反过来,代数基本定理说这个方程刚好有n个根,如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根,因此对于奇数n,每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形,对于偶数或奇数的n,非实数特征值成共轭对出现。
参考资料来源:百度百科--矩阵转置
参考资料来源:百度百科--特征向量
你好!A的转置与A有相同的特征值,但特征向量不一定相同,如图是推理与反例。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!
本回答被提问者采纳A和A^T的特征值相同,但特征向量不一定相同。
这虽然没错,但还有些相关的结论值得注意。
利用Jordan标准型容易验证A和A^T相似,特征值相同是直接推论。
当然这一结论也可以用λI-A与λI-A^T相抵得到。
A和A^T的特征向量并不是没有关系。
为此我们先下一个定义:
如果Ax=λx,x≠0,那么x称为A关于特征值λ的(右)特征向量;
如果y^TA=λy^T, y≠0,那么y称为A关于特征值λ的左特征向量。
显然y是A关于特征值λ的左特征向量<=>y是A^T关于特征值λ的右特征向量,
注意这里的特征值是完全相同的。
进一步,我们假定A可对角化,并且P^{-1}AP=Λ是对角阵,
那么很明显P的列是A的右特征向量系,而从P^TA^TP^{-T}=Λ得到P^{-T}的列是A^T的右特征向量系,也就是A的左特征向量系。
A不可对角化时特征向量会少一些,需要引进循环特征向量才能构成P,结论大体上是一样的。
仅仅说“A和A^T的特征向量不一定相同”大致相当于“P和P^{-T}不是一回事”,这话虽然没错,但漏掉了很多有用的信息。
作为简单的推论,我们可以得到:
(1) 如果λ是A的单特征值,y和x分别是A关于λ的左右特征向量,那么y^Tx≠0;
(2) 如果λ和μ是A的两个不同特征值,x是A关于λ的右特征向量,y是A关于λ的左特征向量,那么y^Tx=0。