如题所述
一、几何证明法：
过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)
= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。
设AB中点为M,若FA ≥ FB,则F在线段BM上。
M到准线的距离 ≥ B到准线的距离,可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。
而AB为通径时,M到准线的距离 = F到准线的距离。
此时M到准线的距离取到最小值,于是AB长度也取得最小值。
二、代数方程法：
设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1
过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在)。
然后方程联立,利用弦长公式可整理成关于m的函数式。
从中求出当且仅当m=0时,弦长最短。
扩展资料：
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。
求椭圆标准方程的两个基本方法：
定义法：关键在于充分利用平面几何知识，并注意画图分析，充分挖掘问题中所隐含的几何属性，从而确定动点是否满足椭圆的定义。
待定系数法：当已知动点轨迹为椭圆时可以使用待定系数法，其关键是确定椭圆焦点的位置设出椭圆方程，代入已知条件求得椭圆方程中的系数。
参考资料-百度百科-椭圆
简单证明如下：
根据椭圆定义，椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率)。
焦点F，长轴交准线于E，通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE，任一过焦点的弦AB，设AB中点G，GH垂直于准线，垂足E，GH为梯形ABDC中位线，AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN，FE≤GN，PQ≤AB。
椭圆通径过焦点的弦最短的原因：
过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率·(A到准线的距离+B到准线的距离)
= 2·离心率·AB中点到准线的距离.
设AB中点为M, 若FA ≥ FB, 则F在线段BM上.
M到准线的距离 ≥ B到准线的距离, 可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离.
而AB为通径时, M到准线的距离 = F到准线的距离.
此时M到准线的距离取到最小值, 于是AB长度也取得最小值.
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