如题所述
一、线性代数中的矩阵的转置和矩阵的逆矩阵有2点不同:
1、两者的含义不同:
(1)矩阵转置的含义:将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转,即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列,第二行变成第二列等,最末一行变为最末一列, 从而得到一个新的矩阵N。 这一过程称为矩阵的转置。即矩阵A的行和列对应互换。
(2)逆矩阵的含义:一个n阶方阵A称为可逆的,或非奇异的,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
2、两者的基本性质不同:
(1)矩阵转置的基本性质:(A±B)T=AT±BT;(A×B)T= BT×AT;(AT)T=A;(KA)T=KA。
(2)逆矩阵的基本性质:可逆矩阵一定是方阵。如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)。
二、矩阵的转置和逆矩阵之间的联系:矩阵的转置和逆矩阵是两个完全不同的概念。转置是行变成列列变成行,没有本质的变换,逆矩阵是和矩阵的转置相乘以后成为单位矩阵的矩阵。
扩展资料:
一、逆矩阵的其它性质:
1、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
2、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
3、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
二、逆矩阵性质的证明:
1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C。
2、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。
4、矩阵A可逆,有AA-1=I 。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I ,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。
5、在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O,而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O。
6、由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I 。得B-C=O,即B=C。
参考资料来源:百度百科-矩阵转置
参考资料来源:百度百科-转置
参考资料来源:百度百科-矩阵转置
参考资料来源:百度百科-逆矩阵
转置是行变成列列变成行,没有本质的变换
逆矩阵是和这个矩阵相乘以后成为单位矩阵的矩阵
这个是一个本质的变换,逆矩阵除了一些显然的性质以外还有一些很特殊的性质,例如无论左乘还是右乘原矩阵,都是单位矩阵。本回答被提问者采纳
简单的说,转置就是把矩阵的行和列交换,第一行变为第一列,第二行变为第二列,等等。
而逆矩阵就是和原来的矩阵乘起来等于单位阵E,这一点相当于一个数的倒数,和原来的数相乘等于1。