如题所述
解:【用“[.]'”表示对x求导”】(1)题,设S(x)=∑(n+1)x^n。∴S(x)=∑(n+1)x^n=[∑x^(n+1)]',
当丨x丨<1时,∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x),
∴S(x)=∑(n+1)x^n=[(x^2)/(1-x)]'=(2x-x^2)/(1-x)^2,其中,丨x丨<1。
(2)题,设S(x)=∑[1/(2n+1)]x^(2n+1)。∴S'(x)=∑x^(2n),
当丨x^2丨<1,即丨x丨<1时,∑x^(2n)=1/(1-x^2),∴S(x)=∫(0,x)dx/(1-x^2)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)],其中,丨x丨<1。
供参考。追问
当丨x丨<1时,∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x),
∴S(x)=∑(n+1)x^n=[(x^2)/(1-x)]'=(2x-x^2)/(1-x)^2,其中,丨x丨<1。
(2)题,设S(x)=∑[1/(2n+1)]x^(2n+1)。∴S'(x)=∑x^(2n),
当丨x^2丨<1,即丨x丨<1时,∑x^(2n)=1/(1-x^2),∴S(x)=∫(0,x)dx/(1-x^2)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)],其中,丨x丨<1。
供参考。追问
这个是怎么来的??
当丨x丨<1时,∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x),
因该是这个是怎么来的??
当丨x丨<1时,∑x^(n+1)=(x)/(1-x)
∵n=1、∑x^(n+1)是首项为x^2、公比为x的等比数列,∴∑x^(n+1)=(x^2)(1-x^n)/(1-x))。
当丨x丨<1时,lim(n→∞)x^n=0,∑x^(n+1)收敛,继而lim(n→∞)∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x)。
谢谢
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