椭圆面积公式推导

椭圆面积公式推导过程相关内容如下：

1、设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b（a>；b），椭圆的焦点到中心点的距离为c。椭圆上的点P（x，y）到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。

2、根据点到焦点的距离公式，可以得到：PF1=√（（x- c）^2+y^2）PF2=√（（x+ c）^2+y^2）。

3、将上述两个式子代入PF1+PF2=2a，得到：√（（x- c）^2+y^2）+√（（x+ c）^2+y^2）=2a。

4、将上述等式两边平方，得到：（（x- c）^2+y^2）+2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）+（（x+ c）^2+y^2）=4a^2。

5、化简上述等式，得到：2（x^2+y^2+c^2）+2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=4a^2。

6、进一步化简，得到：√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=a^2-c^2。

7、将椭圆的离心率定义为e= c/a，可以推导得到1-e^2=b^2/a^2，即b^2=a^2-a^2e^2。

8、将上述等式代入√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=a^2-c^2，得到：√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=b^2。

9、将上述等式平方，得到：（（x- c）^2+y^2）（（x+ c）^2+y^2）=b^4。

10、将上述等式展开、整理：x^4+y^4-2c^2（x^2+y^2）+c^4=b^4。

11、因为椭圆在x和y轴上对称，所以x^4+y^4可以拆分为（x^2+y^2）^2-2x^2y^2。

12、将上述等式整理，可以得到椭圆的面积公式：S=πab=π√（（a^2-b^2）/2）√（（a^2+b^2）/2）。其中，a是长半轴的长度，b是短半轴的长度，π表示圆周率。

椭圆的周长公式推导：

1、先给定其长半轴长度为a，短半轴长度为b。我们知道椭圆上的每个点到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。

2、希望找到一个能够描述整个椭圆的参数，该参数可以通过点的坐标直接表示。我们定义椭圆上任意点P的横坐标与纵坐标分别为x和y，即P（x，y）。

3、根据点到焦点的距离公式，可以得到：PF1=√（（x- c）^2+y^2）PF2=√（（x+ c）^2+y^2）。

4、将上述两个式子代入PF1+PF2=2a，得到：√（（x- c）^2+y^2）+√（（x+ c）^2+y^2）=2a。

5、平方后得：（（x- c）^2+y^2）+2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）+（（x+ c）^2+y^2）=4a^2。

6、进一步化简得：2（x^2+y^2+c^2）+2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=4a^2。

7、令e= c/a，并利用椭圆的离心率定义可以推导得到等式：1-e^2=b^2/a^2。

8、将上述等式代入，继续化简：√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=a^2-c^2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=a^2-a^2e^2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=a^2（1-e^2）√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=a^2b^2/a^2√（（x- c）^2+y^2）√（（x+ c）^2+y^2）=b^2。

9、平方后再次进行整理：（（x- c）^2+y^2）（（x+ c）^2+y^2）=b^4（x^2-c^2+y^2）（x^2+c^2+y^2）=b^4x^4+y^4+2x^2y^2=b^4。

10、由于椭圆在x和y轴上对称，可以知道x^4+y^4=（x^2+y^2）^2-2x^2y^2则b^4=（x^2+y^2）^2-2x^2y^2，代入上式得：2x^2y^2=（x^2+y^2）^2-b^42x^2y^2=x^4+2x^2y^2+y^4-b^4x^4+y^4-2x^2y^2=b^4。

11、因此，我们得到椭圆的周长公式：C=4a（E（x，b^2/a^2）+1/2x√（1+（b^2-x^2）/a^2））。

12、其中，C表示椭圆的周长，E（x，b^2/a^2）表示第二类椭圆积分，x为实数，b^2/a^2表示椭圆的偏心率的平方。