求摆线的一拱绕x轴旋转所得的旋转体的侧面积
12，13，15，16
第1个回答 2021-09-25
简单计算一下即可，答案如图所示
第2个回答 2015-07-23
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
dx=ydt
S=∫<0,2πa>πy²dx
=∫<0,2π>π[a(1-cost)]³dt
=∫<0,2π>πa³[(1-cost+cos²t-cos³t)]dt
=∫<0,2π>πa³[3/2-cost+cos2t/2-(1-sin²t)*cost]dt
=<0,2π>πa³[3t/2-sint+sin2t/4-(sint-sin³t/3)]
=πa³*3π
=3a³π²追问
y=a(1-cost)
dx=ydt
S=∫<0,2πa>πy²dx
=∫<0,2π>π[a(1-cost)]³dt
=∫<0,2π>πa³[(1-cost+cos²t-cos³t)]dt
=∫<0,2π>πa³[3/2-cost+cos2t/2-(1-sin²t)*cost]dt
=<0,2π>πa³[3t/2-sint+sin2t/4-(sint-sin³t/3)]
=πa³*3π
=3a³π²追问
要求的是侧面积啊
追答算成体积了，不好意思，面积如下：
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
dx=ydt
S=∫2πydx
=∫2πy²dt
=∫π[a(1-cost)]²dt
=∫πa²(1-2cost+cos²t)dt
=∫πa²(3/2-2cost+cos2t/2)dt
=πa²[3t/2-2sint+sin2t/4]
=πa²*3π
=3a²π²
为什么面积和体积答案一样的啊😳😳😳
追答不一样啊，一个是a的平方，一个是a的立方
追问答案不对哎，答案是64pia*a^2/3
追答不好意思，用公式用错了
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
x'(t)=a(1-cost)
y'(t)=asint
S=∫2πy√(x'²+y'²)dt
=∫2πa(1-cost)√[a²(1-cost)²+a²sin²t]dt
=∫2πa²(1-cost)√(2-2cost)dt
=∫2√2*πa²(1-cost)∧(3/2)dt
=∫2√2πa²[2sin²(t/2)]∧(3/2)dt
=∫16πa²[sin²(t/2)*sin(t/2)]d(t/2)
=-∫16πa²[1-cos²(t/2)]dcos(t/2)
=-{16πa²[cos(t/2)-cos³(t/2)/3]}
=-16πa²[(-1+1/3)-(1-1/3)]
=-16πa²*(-4/3)
=64πa²/3
答案是对的
