设椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点为F1，F2，P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠F1F2P=γ，求sinαsinβ+sinγ．
第1个回答 2015-01-25
设|PF1|=m，|PF2|=n，
∵∠PF1F2=β，∠PF1F2=γ，
∴∠F1PF2=180°-γ-β
∴sinα=sin（γ+β）
由正弦定理可得
＝
，
=
∴m=
，n=
根据椭圆的定义可知m+n=2a，∴
=2a，
∴
=
．
∵∠PF1F2=β，∠PF1F2=γ，
∴∠F1PF2=180°-γ-β
∴sinα=sin（γ+β）
由正弦定理可得
| m |
| sinβ |
| 2c |
| sinα |
| n |
| sinγ |
| 2c |
| sinα |
∴m=
| 2csinβ |
| sinα |
| 2csinγ |
| sinα |
根据椭圆的定义可知m+n=2a，∴
| 2c(sinβ+sinγ) |
| sinα |
∴
| sinα |
| sinβ+sinγ |
| c |
| a |
