关于函数极限唯一性

这个惟一性定理的证明，用的反证法。
用反证法证题的关键是合理地“制造”矛盾，及时发现并揭露矛盾。
O客认为，在世界上首次用取ε=d/2来证明出这个定理的人，一定是本人（或借鉴他人）经过无数次的尝试，为解决上述关键问题而得到的。
为什么取ε=d/2？试作一个简单的探寻。
假设A≠B，不妨设A<B.
由limxn=A,limxn=B,则
对于ε1>0, ε2>0，
分别存在N1,N2∈N*,
当n>N1时,|xn-A|<ε1,
当n>N2时,|xn-B|<ε2,
取N＝max | N1, N2|,
ε=max |ε1,ε2|,
于是
当n>N时，
|xn-A|<ε,
|xn-B|<ε,
即
A－ε<xn<A＋ε①,
B－ε<xn<B＋ε②.
至此，证明接近尾声，似乎没有发现矛盾。但是，矛盾肯定隐藏其中。只是我们没有逮住“狐狸的尾巴”而已。
如图。这两个不等式①②的几何意义是，同一个收敛数列的（当n充分大以后）的所有项，都分别落在点A，B的ε邻域即开区间（A－ε, A＋ε）,( B－ε, B＋ε)内。
注意，这4个界点中，A＋ε与B－ε的大小不能确定。由实数的三岐性：
若A＋ε<B－ε, 有xn< B－ε,xn>B－ε。矛盾。
若A＋ε=B－ε, 有xn< B－ε,xn>B－ε。矛盾。
若A＋ε>B－ε,存在xn0∈（A＋ε,B＋ε），有xn0< A＋ε,xn0>A＋ε矛盾。
既然三个都能“制造”（就是推出）矛盾，何不择其易者。
故取A＋ε=B－ε，这时ε=(B-A)/2＝d/2. 然也。

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