1 求三角形ABF2面积的最大值
2 求三角形ABF2面积取得最大值时tanF1AF2的值
（要详细过程）
1. 面积最大值为16/3。
a=√9=3，b=√8=2√2，c=√(a²-b²)=1，故|F1F2|=2c=2。
过F1的直线方程为：x+1=ay（这么设是为了顾及a=0即与x轴垂直的情况），设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2)，显然y1和y2是异号的。
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
=|y1-y2|
(ay-1)²/9+y²/8=1，得(8a²+9)y²-16ay-64=0。
故y1+y2=16a/(8a²+9)，y1y2=-64/(8a²+9)。
这个64x+1/x的函数，在x=1/8时最小，然后x增加它就递增。因为a²+1>1，所以|a|递增后，分母递增，因此面积是递减的。所以a=0时（直线与x轴垂直），面积最大，等于16/3。两个点是A(-1,8/3)和B(-1,-8/3)。
2. tan F1AF2 = 3/4。
此时AF1F2是直角三角形，tan F1AF2=|F1F2|/|AF1|=2/(8/3)=3/4。
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第1个回答 2013-02-15
解：椭圆的2个焦点：c²=a²-b²=9-8=1,所以F1(-1,0), F2(1,0)
过F1的直线方程为：y=k(x+1)，设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2)
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
很显然，当y1,y2取最大值时，S△ABF2面积最大。
而y1,y2最大，分别为y轴与椭圆两个交点，即y=±2√2
所以此时S△ABF2 = 2√2+ 2√2= 4√2
(2)由(1)解，面积最大时，tan(F1AF2/2) = OF2/OA = 1/2√2=√2/4
所以tan(F1AF2) = 2tan(F1AF2/2)/(1-tan²(F1AF2/2))=4√2/7
不好意思，做错了，忘了直线过F1这个条件了。
(1)而y1,y2最大，分别为直线x=-1与椭圆两个交点，即y=±8/3
此时三角形面积为:S△ABF2=8/3 + 8/3=16/3
(2)由于面积最大时，AF1⊥x轴,所以△AF1F2为Rt△
tan∠F1AF2=|F1F2|/AF1 = 2/(8/3) = 3/4
过F1的直线方程为：y=k(x+1)，设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2)
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
很显然，当y1,y2取最大值时，S△ABF2面积最大。
而y1,y2最大，分别为y轴与椭圆两个交点，即y=±2√2
所以此时S△ABF2 = 2√2+ 2√2= 4√2
(2)由(1)解，面积最大时，tan(F1AF2/2) = OF2/OA = 1/2√2=√2/4
所以tan(F1AF2) = 2tan(F1AF2/2)/(1-tan²(F1AF2/2))=4√2/7
不好意思，做错了，忘了直线过F1这个条件了。
(1)而y1,y2最大，分别为直线x=-1与椭圆两个交点，即y=±8/3
此时三角形面积为:S△ABF2=8/3 + 8/3=16/3
(2)由于面积最大时，AF1⊥x轴,所以△AF1F2为Rt△
tan∠F1AF2=|F1F2|/AF1 = 2/(8/3) = 3/4
