过椭圆的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )

最短为垂直于X轴那根弦为 2b²/a
解：设过焦点F的直线交椭圆于A（x1,y1)、B(x2,y2)两点
（1） 当直线斜率为0时，显然AB=2a
（2） 当直线斜率不为0时，设直线方程为 x=ky+c ①
联立椭圆方程x²/a²+y²/b²=1 ② 得(b²k ²+a²)y²+2b²cky+(c²b²-a²b²)=0
得y1+y2=-2b²ck/(b²k²+a²) 则x1+x2=2a²c/(2b²k²+a²)
由椭圆第二定义知，AF=a-ex1 BF=a-ex2 e=c/a
则焦点的弦长为AB=2a-e(x1+x2)
因为0<e<1，所以，当x1+x2最大时，AB最小
k²≧0, 故当k²=0时，x1+x2最大，所以x1+x2=2a²c/(2b²k²+a²) ≧ 2c
此时AB=2a-e(x1+x2)≤ 2a-2ec=2b²/a<2a
综上所述，过焦点最短弦长为2b²/a

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