设函数f(x)在x=0处可导,试讨论函数|f(x)|在x=0处的可导性。设函数f(x)在x=0处可导,试讨论函数|f(x)|在x=0处的可导性。
1. 若函数f(x)在x=0的某个邻域内不变号,
即在这个邻域内f(x)≥0恒成立,或f(x)≤0恒成立,则在这个邻域内|f(x)|=±f(x),
显然,函数|f(x)|在x=0处可导。
2. 若函数f(x)在x=0的任意邻域内变号,
在这个邻域内,
不妨设x>0, f(x)>0,
有|f(x)|=f(x) ,这时|f(0+)|’=f’(0+);
x<0,f(x)<0,有|f(x)|=-f(x), 这时|f(0-)|’=-f’(0-)。
由函数f(x)在x=0处可导,知f’(0+)=f’(0-).
又由假设知,f’(0)≠0,即f’(0+)=f’(0-)≠0(不然的话,x=0是f(x)的驻点,f(x)在这点将改变增减性,与f’(0+)=f’(0-)矛盾)
所以, 函数|f(x)|在x=0处不可导。
亲,举例如下。
1. y=cosx,y=-x²。
2. y=sinx,y=x.
即在这个邻域内f(x)≥0恒成立,或f(x)≤0恒成立,则在这个邻域内|f(x)|=±f(x),
显然,函数|f(x)|在x=0处可导。
2. 若函数f(x)在x=0的任意邻域内变号,
在这个邻域内,
不妨设x>0, f(x)>0,
有|f(x)|=f(x) ,这时|f(0+)|’=f’(0+);
x<0,f(x)<0,有|f(x)|=-f(x), 这时|f(0-)|’=-f’(0-)。
由函数f(x)在x=0处可导,知f’(0+)=f’(0-).
又由假设知,f’(0)≠0,即f’(0+)=f’(0-)≠0(不然的话,x=0是f(x)的驻点,f(x)在这点将改变增减性,与f’(0+)=f’(0-)矛盾)
所以, 函数|f(x)|在x=0处不可导。
亲,举例如下。
1. y=cosx,y=-x²。
2. y=sinx,y=x.
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第1个回答 2019-12-31
解:1、∵f(x)=x
x≥0
-x
x<0
易求的f(x)在x=0的左导数为-1,右导数为1
左右导数不相等,故在x=0处不可导
2、∵limx→0+f(x)=0+1=1≠f(0)=0
limx→0-f(x)=0-1=-1≠f(0)=0
∴f(x)在x
=0,既不左连续,也不右连续
∴x
=0为f(x)的间断点
x≥0
-x
x<0
易求的f(x)在x=0的左导数为-1,右导数为1
左右导数不相等,故在x=0处不可导
2、∵limx→0+f(x)=0+1=1≠f(0)=0
limx→0-f(x)=0-1=-1≠f(0)=0
∴f(x)在x
=0,既不左连续,也不右连续
∴x
=0为f(x)的间断点
第2个回答 2016-11-03
左右导数相等时可导不等时不可导