如题所述
设矩阵A经过初等行变换之后,化为上三角矩阵B,则A等价于B。
矩阵A'经过初等列变换之后,可化为下三角矩阵C,则A'等价于C。
显然,B的转置矩阵B'=C。
因为,转置之后对角线上的元素不变,所以,B和C的对角线元素相等。
因为,三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积。
又因为,|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积。
|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积。
所以,|λI-A|=|λI-A'|。
所以,矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同。
将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转,即得到A的转置。
设A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立,那么这样的数λ称为矩阵A特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。
A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零),可见,特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意,特征值在重根时,特征向量空间的维数是特征根的重数。
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