已知。如图,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)(1)求证:二次函数的图像与x轴必有两个不同的交点。
问题补充: (2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且x1的平方加x2的平方等于10,求抛物线的解析式。
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使使△PBD(PD垂直于x轴,垂足为D)被直线BC分成面积比为1:2的两部分?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)y=mx²+(m-3)x-3
△=(m-1)²+12m>0 (m>0)
则二次函数的图像与x轴有两个不同的交点
(2) x1²+x2²=10
(x1+x2)²-2x1x2=10
[-(m-3)/m]²+2*3/m=10
m²-6m+9+6m=10m²
m²=1 (m>0) 得 m=1
抛物线的解析式:y=x²-2x-3
(3) BC直线过PD的三等分点中的一个
设P点坐标为(x,x²-2x-3)
则 3-x=(x²-2x-3)/3 或3-x=(x²-2x-3)*2/3
当3-x=(x²-2x-3)/3时,即
9-3x=x²-2x-3
x²+x-12=0
x=-4 x=3 (均不符合题意)
当3-x=(x²-2x-3)*2/3时,即
9-3x=2x²-4x-6
2x²-x-15=0
x=3 x=-5/2 (均不符合题意)
即不存在P点
△=(m-1)²+12m>0 (m>0)
则二次函数的图像与x轴有两个不同的交点
(2) x1²+x2²=10
(x1+x2)²-2x1x2=10
[-(m-3)/m]²+2*3/m=10
m²-6m+9+6m=10m²
m²=1 (m>0) 得 m=1
抛物线的解析式:y=x²-2x-3
(3) BC直线过PD的三等分点中的一个
设P点坐标为(x,x²-2x-3)
则 3-x=(x²-2x-3)/3 或3-x=(x²-2x-3)*2/3
当3-x=(x²-2x-3)/3时,即
9-3x=x²-2x-3
x²+x-12=0
x=-4 x=3 (均不符合题意)
当3-x=(x²-2x-3)*2/3时,即
9-3x=2x²-4x-6
2x²-x-15=0
x=3 x=-5/2 (均不符合题意)
即不存在P点
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