已知点P为椭圆上任意一点，点P到直线L1:x=2的距离为d1,到点F1(1,0)的距离为d2，且d2/d1=√2 /2 直线l与椭圆交于不同两点A B(A B在x轴上方) 且角OFA+角OFB=180度对于动直线l 是否存在一个定点 无论角OFA如何变化 直线总过定点 要有过程
第1个回答 2013-05-27
因为P到定点 F(1,0) 与到定直线 l1:x=2 的距离之比 d2/d1=√2/2<1，所以 P 点的轨迹是以 F 为一焦点、以 l1 为一准线的椭圆（即 P 点所在的椭圆）；该椭圆的离心率 e=c/a=√2/2，准线 x=a²/c=2；所以 a=√2，c=1，标准方程：x²/2 +y²=1；
∠OFA+∠OFB=180°，tan∠OFA =-tab∠OFB ，从而知直线 FB 与直线 FA 关于 x 轴对称，由于椭圆的对称性，B 点关于 x 轴的对称点一定在 AF 的延长线上；
设直线 FB 的方程为 y=k(x-1)（假定 A 在 B 点左侧，k>0），代入椭圆方程求解：
x²/2 +[k(x -1)]²=1，整理为：(1+2k²)x²-4k²x +2(k²-1)=0，若该方程的两根为 x1、x2，则：
x1+x2=4k²/(1+2k²)，∴ y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k/(1+2k²)；
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1*x2=[(4k²)²/(1+2k²)² -4*2(k²-1)/(1+2k²)=8(k²+1)/(1+2k²)²；
∴ y1-y2=k(x1-x2)=k√[8(k²+1)] /(1+2k²)；
直线 l:AB 的斜率为 k'=(y1+y2)/(x1-x2)=-2/(1+2k²)/√[8(k²+1)/(1+2k²)²]=-k/√[2(k²+1)]；
线段 AB 的中点坐标为：((x1+x2)/2,(y1-y2)/2)；
所以 l 的方程可表示为：y -k√[2(k²+1)] /(1+2k²)=-k[x -2k²/(1+2k²)]/√[2(k²+1)]；
上列 l 的方程随 FB 的斜率 k 而变化，并不过某一固定点；任设两个不同斜率 k 求交点非定值；
∠OFA+∠OFB=180°，tan∠OFA =-tab∠OFB ，从而知直线 FB 与直线 FA 关于 x 轴对称，由于椭圆的对称性，B 点关于 x 轴的对称点一定在 AF 的延长线上；
设直线 FB 的方程为 y=k(x-1)（假定 A 在 B 点左侧，k>0），代入椭圆方程求解：
x²/2 +[k(x -1)]²=1，整理为：(1+2k²)x²-4k²x +2(k²-1)=0，若该方程的两根为 x1、x2，则：
x1+x2=4k²/(1+2k²)，∴ y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k/(1+2k²)；
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1*x2=[(4k²)²/(1+2k²)² -4*2(k²-1)/(1+2k²)=8(k²+1)/(1+2k²)²；
∴ y1-y2=k(x1-x2)=k√[8(k²+1)] /(1+2k²)；
直线 l:AB 的斜率为 k'=(y1+y2)/(x1-x2)=-2/(1+2k²)/√[8(k²+1)/(1+2k²)²]=-k/√[2(k²+1)]；
线段 AB 的中点坐标为：((x1+x2)/2,(y1-y2)/2)；
所以 l 的方程可表示为：y -k√[2(k²+1)] /(1+2k²)=-k[x -2k²/(1+2k²)]/√[2(k²+1)]；
上列 l 的方程随 FB 的斜率 k 而变化，并不过某一固定点；任设两个不同斜率 k 求交点非定值；
