设椭圆C: (a〉b>0)的左焦点为 ，椭圆过点P（ ）(1)求椭圆C的方程；(2)已知点D(l,0),直线l: 与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.
解 （1）由题意知 ，b2 = a2－3，由 得 2a4－11a2 + 12 = 0，所以（ a 2 －4）（2 a 2 －3）= 0，得 a 2 = 4或  （舍去），因此椭圆 C 的方程为  ． ……………… 4分（2）由  得  ．所以4 k 2 + 1＞0，  ，得 4 k 2 + 1＞ m 2 ． ① ……………… 6分 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， AB 中点为 M （ x 0 ， y 0 ）， 则  ， ，于是  ， ， ．设菱形一条对角线的方程为  ，则有 x =－ ky + 1．将点 M 的坐标代入，得  ，所以 ． ②将②代入①，得  ， 所以9 k 2 ＞4 k 2 + 1，解得 k ∈  ． ……………… 12分法2：   则由菱形  对角线互相垂直，即直线 l 与 垂直，由斜率的负倒数关系可整理得 ，即－3 km = 4 k 2 + 1，即 ， 代入①即得．法3： 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， AB 中点为 M （ x 0 ， y 0 ）， 则  ， ，于是，两式相减可得  ，即 x 0 + 4 ky 0 = 0． ① 因为 QD ⊥ AB ，所以  ． ②由①②可解得  ， ，表明点 M 的轨迹为线段 （ ）．当  ， k ∈（ ，+∞）；当 ， k ∈（－∞, ）．综上， k 的取值范围是 k ∈ ． |
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