设A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 A^T相似答:(为方便,A的转置为A‘)设x1 x2 ...xn 为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1, x2,...,xn] 其是可逆的 则有 X^(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX 进而有 (XX')A'(XX')^(-1)=A ...
设n阶实对称阵A和B相似,证明:存在n阶正交阵Q,使得Q的转置乘以A再乘以Q...答:证明,存在正交阵C与D,C'AC=[a1,a2,a3,...an],D'BD=[a1,a2,a3,...an]这是A与B有相同的特征值。又两个正交阵的乘积或正交阵的逆矩阵为正交阵,D'-1C'ACD-1=B,取Q=CD-1即可。