已知F1、F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆E上的点，线段F1P的中点在y轴上，PF1•PF2=116a2．倾斜角等于π3的直线l经过F1，与椭圆E交于A、B两点． （1）求椭圆E的离心率； （2）设△F1PF2的周长为2+3，求△ABF2的面积S的值．
第1个回答 2019-10-10
解：（1）∵F1，F2分别是椭圆E的左右焦点，P是椭圆E上的点，
线段F1P的中点在y轴上，
∴PF2⊥x轴，∴|PF2|=b2a，
又∵PF1•PF2=116a2，
∴|PF2|2=116a2，∴b2a=14a，
∴a2=4b2，∴a2=4（a2-c2），化简得3a2=4c2，
∴ca=32，
∴椭圆E的离心率e=32．
（2）∵△F1PF2的周长为2+3，∴2a+2c=2+3，
解方程组2a+2c=2+3ca=32，得a=1c=32，
∴b2=14，
∴椭圆E的方程为x2+4y2=1，
由已知得直线l的方程为y=3（x+32），即23x-2y+3=0．
∴F2(32，0)到直线l的距离d=32，
由y=3(x+32)x2+4y2=1，得13x2+123x+8=0，
∴x1+x2=-12313，x1x2=813，
∴|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=2(-12313)2-4×813=813，
∴S=12|AB|d=12×813×32=613．
∴△ABF2的面积S的值等于613．
线段F1P的中点在y轴上，
∴PF2⊥x轴，∴|PF2|=b2a，
又∵PF1•PF2=116a2，
∴|PF2|2=116a2，∴b2a=14a，
∴a2=4b2，∴a2=4（a2-c2），化简得3a2=4c2，
∴ca=32，
∴椭圆E的离心率e=32．
（2）∵△F1PF2的周长为2+3，∴2a+2c=2+3，
解方程组2a+2c=2+3ca=32，得a=1c=32，
∴b2=14，
∴椭圆E的方程为x2+4y2=1，
由已知得直线l的方程为y=3（x+32），即23x-2y+3=0．
∴F2(32，0)到直线l的距离d=32，
由y=3(x+32)x2+4y2=1，得13x2+123x+8=0，
∴x1+x2=-12313，x1x2=813，
∴|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=2(-12313)2-4×813=813，
∴S=12|AB|d=12×813×32=613．
∴△ABF2的面积S的值等于613．
