数学题：已知F1,F2是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点且PF1:PF2=1:2,则角F1PF2=? PF2的倾斜角为

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
则焦点为F1(-c,0), F2(c,0), [c=√(a^2-b^2)]
PF1:PF2=1:2, PF1+PF2=2a
可解得PF1=2a/3，PF2=4a/3
又F1F2=2c，由余弦定理可得
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2*cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2PF1*PF2)
=[(2a/3)^2+(4a/3)^2-(2c)^2]/(2*2a/3*4a/3)
=[20a^2/9-4c^2]/(16a^2/9)
=5/4-9c^2/(4a^2)
=(5-9e^2)/4 (e=c/a 为椭圆的离心率)
∴∠F1PF2=arccos[(5-9e^2)/4]
PF2的倾斜角为∠PF1F2，同理可由余弦定理得
PF2^2=PF1^2+F1F2^2-2PF1*F1F2*cos∠PF1F2
∴cos∠PF1F2=(PF1^2+F1F2^2-PF2^2)/(2PF1*F1F2)
=[(2a/3)^2+(2c)^2-(4a/3)^2]/(2*2a/3*2c)
=[4c^2-12a^2/9]/(8ac/3)
=3c/(2a)-a/(2c)
=(3e-1/e)/2 (e=c/a 为椭圆的离心率)
∴∠PF1F2=arccos[(3e-1/e)/2]

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